نویسنده : امیر انصاری

1. یک دستگاه معادلات خطی-درجه دوم با دو متغیر بنویسید که این دایره را با ویژگی های داده شده، مدل سازی کند.
   
2. شعاع، محیط، و مساحت این دایره را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. $$
   C=2 \pi r\\
   C=3 \pi r^2
   $$
   
2. برای یافتن شعاع \((r)\) و محیط \((C)\)، این دستگاه را حل می کنیم. جهت حل این دستگاه، ابتدا معادلۀ خطی \(C=2 \pi r\) را برای بدست آوردن \(r\) حل کرده و سپس با روش جایگزینی دستگاه را حل می کنیم.
   $$
   C=2 \pi r\\
   \frac{C}{2 \pi} = r
   $$
   حالا عبارت بدست آمده برای \(r\) را در معادلۀ درجه دوم \(C=3 \pi r^2\) جایگذاری می کنیم.
   $$
   C=3 \pi r^2\\
   C = 3 \pi (\color{red}{\frac{C}{2 \pi}})^2\\
   C = 3 \pi (\frac{C^2}{4 \pi^2})\\
   C = \frac{3 C^2}{4 \pi}\\
   4\pi C = 3 C^2\\
   3C^2 - 4 \pi C = 0\\
   C(3C - 4\pi)=0\\
   C = 0\\
   3C - 4 \pi = 0\\
   3C = 4 \pi \\
   C = \frac{4 \pi}{3}
   $$
   حالا که مقدار \(C\) را به دست آورده ایم، آن را در یکی از معادله های دستگاه جایگذاری می کنیم تا مقدار \(r\) را نیز بدست آوریم.
   $$
   C=2 \pi r\\
   \color{red}{\frac{4 \pi}{3}} = 2 \pi r\\
   \frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{4 \pi}{3} = \frac{1}{2 \pi} \cdot 2 \pi r \\
   \frac{2}{3}=r
   $$
   تنها مجهول باقی مانده در این مسئله، مساحت دایره می باشد.
   $$
   A = \pi r^2\\
   A = \pi (\frac{2}{3})^2\\
   A =\frac{4 \pi}{9}
   $$
   شعاع این دایره \(\frac{2}{3}\)، محیط آن \(\frac{4 \pi}{3}\) و مساحت آن \(\frac{4 \pi}{9}\) می باشد.