توابع درجه دوم را هم می توان در شکل استاندارد آن و هم در شکل رأس نوشت. طی این آموزش با شکل رأس آشنا می شویم و چگونگی تبدیل شکل استاندارد به شکل رأس را می آموزیم.





شکل استاندارد یک تابع درجه دوم اینگونه است:
$$f(x)= ax^2+bx+c$$
و شکل رأس آن اینگونه است و در آن \((h,k)\) رأس سهمی (parabola) می باشد:
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$
هنگامی که یک تابع درجه دوم را در شکل رأس می نویسید:

• \((h,k)\) رأس سهمی می باشد، و \(x=h\) محور تقارن (axis of symmetry) می باشد.
  
  
• \(h\) نشان دهندۀ جابجایی افقی (horizontal shift) می باشد (جابجایی افقی یعنی اینکه نمودار از \(x=0\) چقدر به سمت چپ یا راست جابجا می شود).
  
  
• \(k\) نشان دهندۀ جابجایی عمودی (vertical shift) می باشد (جابجایی عمودی یعنی اینکه نمودار چقدر از \(y=0\) به سمت بالا یا پایین جابجا شده است).
  
  
• توجه داشته باشید که در شکل رأس، مقدار \(h\) تفریق می شود، و مقدار \(k\) افزوده می شود.
  
  • اگر معادلۀ تابع \(y=2(x-1)^2 + 5\) باشد، \(h=1\) و \(k=5\) خواهد بود.
    
  • اگر معادلۀ تابع \(y=3(x+4)^2-6\) باشد، \(h=-4\) و \(k=-6\) خواهد بود.
    

برای تبدیل از شکل استاندارد، یعنی \(f(x)=ax^2 + bx + c\)، به شکل رأس، یعنی \(f(x)=a(x-h)^2+k\)، دو روش وجود دارد که در اینجا به هر دوی این روش ها می پردازیم.

روش 1: کامل کردن مربع (completing the square)

مثال: تابع \(y=2x^2 - 4x + 5\) را به شکل رأس تبدیل کنید.

1. معادله را در شکل استاندارد می نویسیم و اگر لازم باشد ترتیب درجه های آن را طبق استاندارد \(y=ax^2 + bx + c\) بازنویسی می کنیم:
   $$y=2x^2-4x+5$$
   
2. از آنجا که می خواهیم از روش کامل کردن مربع (completing the square) استفاده کنیم، مقدار ثابت، در اینجا \(\text{+5}\)، را به سمت دیگر معادله می بریم تا جملات \(x^2\) و \(x\) در سمت دیگر معادله منزوی شوند.
   $$y-5=2x^2-4x$$
   
3. برای کامل کردن مربع، نیاز داریم که ضریب \(x^2\) برابر با \(1\) باشد، بنابراین ضریب فعلی آن، یعنی \(2\)، را فاکتورگیری می کنیم.
   $$y-5=2(x^2-2x)$$
   
4. برای ایجاد یک سه جمله ای مربع کامل آماده باشید. اما مراقب باشید! هر کاری که در سمت راست این معادله انجام می دهید باید عیناً در سمت چپ آن نیز اعمال شود تا تعادل آن برقرار باشد. در سمت راست این معادله و در عبارت داخل پرانتز نیاز به مقداری داریم که یک سه جمله ای مربع کامل را بسازد. فعلاً آن را با یک جای خالی نشان می دهیم. در سمت چپ این معادله نیز عین همان جای خالی را قرار می دهیم و در ضمن از آنجا که در سمت راست، این مقدار داخل پرانتز است و در ضریب \(2\) ضرب می گردد، در سمت چپ نیز این ضریب را ذکر می کنیم.
   $$y-5+2 \text{(___)} = 2(x^2-2x+\text{___})$$
   
5. برای پر کردن جای خالی مرحلۀ قبل باید مقداری را بیابیم که منجر شود سه جمله ایِ داخل پرانتز در سمت راست معادله، مربع کامل گردد. این کار یک فرمول ساده دارد. مقدار ضریب \(x\) را می گیریم، آن را نصف می کنیم و به توان دو می رسانیم. در اینجا ضریب \(x\) برابر با \(2\) است، بنابراین مقدار داخل جای خالی می شود: \((\frac{2}{2})^2 = 1\).
   $$y-5+2 \text{(1)} = 2(x^2-2x+\text{1})$$
   
6. سمت چپ معادله را ساده سازی کنید و در سمت راست آن، به جای سه جمله ای مربع کامل، مربع دو جمله ای معادلش را بنویسید:
   $$y-3=2(x-1)^2$$
   
7. حالا مقدار \(y\) را منزوی کنید، برای اینکه \(-3\) را به سمت دیگر معادله منتقل کنید:
   $$y=2(x-1)^2 + 3$$
   
8. در برخی موارد، شما نیاز دارید که معادله را به شکل دقیق رأس، یعنی \(y=a(x-h)^2+k\)، ببرید، به نحوی که قبل از جملۀ \(h\) یک علامت منفی قرار بگیرد و قبل از جملۀ \(k\) یک علامت مثبت قرار بگیرد. (در این مثال چنین چیزی نداریم.)
   $$y=2(x-1)^2 + 3$$
   رأس این نمودار \((h,k) = (1,3)\) می باشد.
   

روش 2: استفاده از فرمول های میان بُر

در شکل استاندارد یک معادلۀ درجه دوم، یعنی \(f(x)=ax^2 + bx + c\)، می توانیم با فرمول های زیر مقادیر \(h\) و \(k\) را بدست آوریم:
$$h=\frac{-b}{2a}\\
k=f(h)$$
از آنجا که ضریب \(a\) در شکل رأس و ضریب \(a\) در شکل استاندارد، دقیقاً یک چیز هستند، با داشتن ضریب \(a\) و همینطور محاسبۀ \(h\) و \(k\) با دو فرمولی که دیدیم، به سادگی می توانیم این تابع را در شکل رأس بازنویسی کنیم.

مثال: تابع \(y=2x^2 - 4x + 5\) را به شکل رأس تبدیل کنید.

1. معادله را در شکل استاندارد می نویسیم و اگر لازم باشد ترتیب درجه های آن را طبق استاندارد \(y=ax^2 + bx + c\) بازنویسی می کنیم:
   $$y=2x^2-4x+5$$
   
2. با فرمول \(h=\frac{-b}{2a}\) مقدار \(h\) را پیدا می کنیم:
   $$h=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1$$
   
3. با فرمول \(k=f(h)\) مقدار \(h\) را می یابیم:
   $$k = f(h) \\
   f(h) = f(1) = 2(1)^2 - 4 (1) + 5 \\
   f(1) = 2 - 4 + 5\\
   f(1) = 3$$
   
4. حالا با مقادیر بدست آمده، معادله را در شکل رأس بازنویسی می کنیم:
   $$y=a(x-h)^2 + k\\
   y=2(x-1)^2+3$$
   

تمرینات

برای اینکه مهارت شما در استفاده از این دو روش افزایش یابد، یکسری تمرین برای شما پیش بینی کرده ایم. هر چند پاسخ تمرین ها را نیز برایتان قرار داده ایم، اما ابتدا سعی کنید که خودتان پاسخ این تمرینات را بدست آورید. همچنین سعی کنید که از هر دوی این روش ها استفاده کنید و در واقع هر تمرین را دوبار حل کنید.

توابع درجه دوم زیر را که در شکل استاندارد می باشند، به شکل رأس بنویسید.

1. $$y=8x^2-16x+27$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
2. $$y=5x^2-40x+67$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
3. $$y=5x^2+20x+11$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
4. $$y=-3x^2+24x-41$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
5. $$y=5x^2-10x+37$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
6. $$y=7x^2+28x+19$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
7. $$y=-2x^2-24x-75$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
8. $$y=x^2-4x+10$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
9. $$y=3x^2-18x+15$$
   برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.
   
10. $$y=-2x^2-4x+1$$
    برای مشاهدۀ پاسخ این تمرین اینجا کلیک کنید.