طول های اضلاع یک چهار ضلعی یک دنبالۀ حسابی را تولید می کنند. اگر طول بلندترین ضلع آن \(24\) سانتیمتر باشد، و محیط آن \(60\) سانتیمتر باشد، طول سایر اضلاع آن چقدر می باشند؟ پاسختان را توضیح دهید.

پاسخ

برای درک این مسأله به تصویر زیر دقت کنید:


چهار ضلعی مسألۀ ما چنین شکلی باید داشته باشد، یعنی اضلاع آن مدام در حال بلندتر شدن هستند تا اینکه دوباره به ضلع اول برسند. اگر ضلع اول را \(a\) در نظر بگیریم، با توجه به اینکه مسأله می گوید طول اضلاع یک دنباله را تشکیل می دهند، جملات و روابط زیر را در این دنباله خواهیم داشت:
$$
t_1 = a\\
t_2 = a+d\\
t_3 = a+2d\\
t_4 = a+3d = 24
$$
از سوی دیگر محیط این چهار ضلعی را داریم:
$$
t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 60\\
a + a+d + a+2d + a+3d = 60 \\
4a + 6d = 60
$$
مجهول های ما در اینجا \(a\) و \(d\) هستند، با دو رابطۀ زیر یک دستگاه معادلات خطی دو مجهولی می سازیم و مقادیر مجهول را می یابیم:
$$
\begin{cases}
4a+6d=60 \\[2ex]
a + 3d = 24 \\[2ex]
\end{cases}
$$
برای حل این دستگاه از روش حذف (elimination) استفاده می کنیم و معادلۀ دوم را در \(-4\) ضرب می کنیم.
$$
\begin{array}{c}
4a + 6d = 60 \\[2ex]
-4a -12d = -96 \\[2ex]
\hline
0 -6d = -36\\
-6d=-36\\
d= \frac{-36}{-6}\\
d = 6
\end{array}
$$
$$
4a+6d=60\\
4a+6(6)=60\\
4a+36=60\\
4a=60-36\\
4a=24\\
a=\frac{24}{4}\\
a=6
$$
با داشتن طول ضلع اول (در واقع جملۀ اول دنباله) و همین طور قدر نسبت این دنباله می توانیم به سادگی سایر اضلاع (جمله های این دنباله) را نیز بدست آوریم:
$$
a=6\\
a+d=6+6=12\\
a+2d=6+2(6)=6+12=18
$$
طول اضلاع این چهارضلعی به ترتیب \(6\)، \(12\)، \(18\)، و \(24\) سانتیمتر می باشند.