خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
تمرین 15: سری هندسی بی نهایت، استفادۀ کاربردی
توپی از ارتفاع \(16 \text{ m}\) سقوط می کند. هر بار که این توپ به زمین اصابت می کند، معادل یک دوم ارتفاع قبلی اش به هوا باز می گردد. اگر این توپ به جهش هایش ادامه دهد، مجموع مسافت عمودی که این توپ می پیماید چقدر است؟
برای پاسخ دادن به این مسأله به یک نکته توجه کنید، منهای سقوط اولیۀ این توپ، در سایر جهش ها، توپ یکبار به زمین می خورد، بعد بالا می رود، و دوباره به سمت زمین می آید، این یعنی مسافت طی شده در هر جهش دو برابر می شود. با این حساب سری ما به شکل زیر خواهد بود:
$$
2(8)+2(4)+2(2)+\text{...}\\
16+8+4+\text{...}
$$
حالا جمع این سری را محاسبه می کنیم و سپس آن \(16 \text{ m}\) اولیه را نیز به آن می افزاییم:
$$
t_1=16\\
r=\frac{1}{2}\\
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{16}{1-\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = \frac{16}{\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = 32
$$
جمع سری بی نهایت مربوطه \(32 \text{ m}\) شد، \(16 \text{ m}\) آغازین را نیز در آن لحاظ می کنیم:
$$
32 + 16 = 48 \text{ m}
$$
پاسخ
برای پاسخ دادن به این مسأله به یک نکته توجه کنید، منهای سقوط اولیۀ این توپ، در سایر جهش ها، توپ یکبار به زمین می خورد، بعد بالا می رود، و دوباره به سمت زمین می آید، این یعنی مسافت طی شده در هر جهش دو برابر می شود. با این حساب سری ما به شکل زیر خواهد بود:
$$
2(8)+2(4)+2(2)+\text{...}\\
16+8+4+\text{...}
$$
حالا جمع این سری را محاسبه می کنیم و سپس آن \(16 \text{ m}\) اولیه را نیز به آن می افزاییم:
$$
t_1=16\\
r=\frac{1}{2}\\
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{16}{1-\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = \frac{16}{\frac{1}{2}}\\
S_{\infty} = 32
$$
جمع سری بی نهایت مربوطه \(32 \text{ m}\) شد، \(16 \text{ m}\) آغازین را نیز در آن لحاظ می کنیم:
$$
32 + 16 = 48 \text{ m}
$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: