نویسنده : امیر انصاری

1. فرض کنید این نماد بر روی یک محور مختصات قرار گرفته باشد و در نقاط \(A\)، \(B\)، \(C\)، و \(D\) دارای زاویۀ مرجع \(45^{\circ}\) باشد. اندازۀ زوایا در نقاط \(A,B,C,D\) را در موقعیت استاندارد تعیین کنید.
   
2. اگر شعاع این دایره \(1\) واحد باشد، مختصات نقاط \(A,B,C,D\) را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. $$
   \angle{A} = 45^{\circ}\\
   \angle{B} = 180^{\circ} - 45^{\circ} =135^{\circ}\\
   \angle{C} = 180^{\circ} + 45^{\circ} = 225^{\circ}\\
   \angle{D} = 360^{\circ} - 45^{\circ} = 315^{\circ}
   $$
   
2. ابتدا به سراغ مختصات نقطۀ \(A\) در ربع صفحۀ اول می رویم. می دانیم که مثلث مرجع آن یک مثلث \(45^{\circ}\text{-}45^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) می باشد و اندازۀ شعاع آن \(r=1\) است، در مثلث \(45^{\circ}\text{-}45^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) اندازۀ دو ساق با یکدیگر برابر می باشند، بنابراین:
   $$
   r=\sqrt{x^2+y^2}\\
   x=y=a \\
   1 = \sqrt{a^2 + a^2}\\
   1 = \sqrt{2a^2}\\
   1 = a \sqrt{2}\\
   \frac{1}{\sqrt{2}} = a\\
   A(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})
   $$
   سایر نقاط دقیقاً همین مختصات را دارند اما علامت هایشان با توجه به ربع صفحه ای که در آن قرار دارند، متفاوت می باشد:
   $$
   B(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} )\\
   C(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\\
   D(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})
   $$