نویسنده : امیر انصاری

1. خط \(y=6x\) برای \(x \ge 0\)، یک زاویۀ حادۀ \(\theta\) را با محور \(x\) می سازد. نسبت های سینوس، کسینوس، و تانژانت را برای \(\theta\) تعیین کنید.
   
   
   
2. اگر بازوی نهایی زاویۀ \(\theta\) بر روی خط \(4y+3x=0\) برای \(x \ge 0\) قرار گیرد، مقدار دقیق \(\tan \theta + \cos \theta\) را تعیین کنید.
   
   
   
   

پاسخ

1. ابتدا مختصات دو نقطه در معادلۀ این خط را پیدا می کنیم تا نمودارش را ترسیم کنیم تا بتوانیم به صورت تصویری ذهنیتی از مسأله داشته باشیم:
   $$
   y=6x, x \ge 0\\
   x=0 \to y=6(0)=0\\
   x=1 \to y = 6(1)=6\\
   (0,0),(1,6)
   $$
   
   هم اکنون می توانیم نسبت های مثلثاتی را با استفاده از مختصات نقطۀ \(P(1,6)\) بدست آوریم:
   $$
   r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{1+36}=\sqrt{37}\\
   \sin \theta = \frac{y}{r}=\frac{6}{\sqrt{37}}\\
   \cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{37}}\\
   \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{6}{1}=6
   $$
   
2. ابتدا مختصات نقطه ای را بر روی بازوی نهایی این زاویه بدست می آوریم:
   $$
   x=1 \\
   4y+3(1)=0 \\
   4y+3=0\\
   4y=-3\\
   y=-\frac{3}{4}\\
   P(1,-\frac{3}{4})
   $$
   در ادامه مقادیر کسینوس و تانژانت زاویه را بدست می آوریم و در نهایت خواستۀ مسأله یعنی \(\tan \theta + \cos \theta\) را محاسبه می کنیم:
   $$
   r=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{1+(-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\\
   \cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}\\
   \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-\frac{3}{4}}{1}=-\frac{3}{4}\\
   \tan \theta + \cos \theta = -\frac{3}{4}+\frac{4}{5} = \frac{-15}{20}+\frac{16}{20}=\frac{1}{20}
   $$