یک زاویۀ \(60^{\circ}\) در موقعیت استاندارد را در دایره ای به شعاع \(1\) واحد در نظر بگیرید. نقاط \(A\)، \(B\)، و \(C\) ، به شکلی که در تصویر زیر می بینید بر روی محیط این دایره قرار گرفته اند. نشان دهید که اضلاع \(\triangle{ABC}\) قضیۀ فیثاغورث را برآورده می سازند و \(\angle{CAB} = 90^{\circ}\) می باشد.

پاسخ

از آنجا که \(\angle{BOA}\) زاویه ای \(60^{\circ}\) می باشد، مختصات نقطۀ \(A\) برابر با \(\bigl( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \bigr)\) می باشد. مختصات نقطۀ \(B\) برابر با \((1,0)\) و مختصات نقطۀ \(C\) برابر با \((-1,0)\) است. برای بدست آوردن طول اضلاع این مثلث می توانیم از فرمول مسافت استفاده کنیم:
$$
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
d_{AB} = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\
d_{AB} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \\
d_{AB} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} \\
d_{AB} = \sqrt{\frac{4}{4}} \\
d_{AB} = \sqrt{1}\\
d_{AB} = 1
$$
به همین ترتیب طول دو ضلع دیگر مثلث را هم بدست می آوریم:
$$
d_{AC}=\sqrt{3}\\
d_{BC} = 2
$$
حالا قضیۀ فیثاغورث را بررسی می کنیم:
$$
(AB)^2 + (AC)^2 = (BC)^2\\
1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2\\
1+3=4\\
4=4
$$
این اندازه ها قضیۀ فیثاغورث را برآورده می سازند، بنابراین \(\triangle{ABC}\) یک مثلث قائم الزاویه است و زاویۀ \(\angle{CAB} = 90^{\circ}\) می باشد.
روش دیگری برای اثبات اینکه \(\angle{CAB}\) یک زاویۀ \(90^{\circ}\) می باشد اینست: از آنجا که می دانیم زاویۀ مربوطه یک زاویۀ محاطی در نیم دایره است، الزاماً باید \(90^{\circ}\) باشد. اثبات این موضوع در آموزش زیر آمده است:

• اثبات اینکه زاویۀ محاطی در یک نیم دایره همیشه 90 درجه می باشد

بنابراین ثابت می گردد \(\triangle{CAB}\) یک مثلث قائم الزاویه است و قضیۀ فیثاغورث هم در مورد تمامی مثلث های قائم الزاویه صدق می کند.