آموزش ریاضی و فیزیک آموزش حسابان خوش آموز
مسأله های بهینه سازی (Optimization Problems)
در مقدمه، به شما گفتم که حسابان جهان را به بی شمار روش مختلف تغییر داده است، تاثیر آن محدود به بُرج عاج ریاضیات نمی باشد، بلکه تمامی پیرامون ما به صورت کاربردی چیزهایی مانند اجاق های مایکروویو، تلفن های همراه، و خودروها، را تحت تاثیر قرار داده است. خوب، اکنون فصل 12 است، و من سرانجام آماده ام تا به شما نشان دهم چگونه از حسابان برای حل کردن چندین مسالۀ کاربردی استفاده کنید.
...
قضیۀ مقدار میانی (Mean Value Theorem)
شما از قضیۀ مقدار میانی (Mean Value Theorem) زیاد استفاده نخواهید کرد، اما این یک قضیۀ معروف است ـــ یکی از دو یا سه قضیۀ خیلی مهم در حسابان ـــ بنابراین شما واقعاً باید آن را بیاموزید. آن بسیار ساده است و یک ارتباط زیبا با قضیۀ مقدار میانی برای انتگرال ها که در فصل 17 به شما نشان خواهم داد، دارد. شکل 12-11 را ببینید.
...
بررسی نمودارهای مشتق ها
شما می توانید با بررسی نمودار توابع و مقایسۀ ویژگی های مهم آنها در کنار یکدیگر، چیزهای زیادی در مورد آن توابع و مشتق های آنها بیاموزید. بیایید با همان مثال تکراری این فصل، \(f(x)=3x^5-20x^3\)، کار را ادامه دهیم؛ ما قصد داریم تا در امتداد \(f\) از چپ به راست سفر کنیم (شکل 11-11 را ببینید)، بر روی نقاط جذاب آن مکث کنید، و همچنین توجه کنید که در نمودار \(f'=15x^4-60x^2\) در همان نقاط یکسان چه چیزی رخ...
یافتن مکان تقعر و نقاط عطف
به شکل 2-11 بازگردید و تابع \(f(x)=3x^5-20x^3\) را دوباره ببینید. شما از سه عدد بحرانی \(f\)، \(-2\)، \(0\)، و \(2\)، برای یافتن اکسترمم های موضعی (local extrema) این تابع استفاده کرده اید: \((-2,64)\)، \((2,-64)\). در این بخش اتفاقاتی که در نقاط دیگر این تابع رخ می دهند، مورد بررسی قرار می گیرد ـــ به طور مشخص، اینکه در کجا تقعر رو به پایین یا تقعر رو به بالا دارد و جاهاییکه تقعر تعویض می شود (نق...
پیدا کردن اکسترمم های مطلق در سراسر دامنۀ یک تابع
ماکزیمم مطلق (absolute max) و مینیمم مطلق (absolute min) یک تابع در سراسر دامنۀ آن، بالاترین و پایینترین مقادیر آن تابع (ارتفاع ها) در هر جایی که آن تابع تعریف شده باشد، می باشند. برخلاف بخش پیشین که شما دیدید که یک تابع پیوسته باید هم ماکزیمم مطلق و هم مینیمم مطلق را در یک بازۀ بسته (closed interval) داشته باشد، هنگامی که کل دامنۀ یک تابع را لحاظ می کنید، یک تابع می تواند ماکزیمم مطلق، مینیمم مطل...
پیدا کردن اکسترمم های مطلق در فاصلۀ بسته
هر تابعی که در یک فاصلۀ بسته (closed interval) پیوسته می باشد، باید یک مقدار ماکزیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق در آن فاصله (بازه) داشته باشد ـــ به عبارت دیگر، یک بالاترین نقطه و پایین ترین نقطه ـــ همانطور که در مثال زیر می بینید، در آنجا می تواند یک الزام برای بالاترین و پایینترین مقدار وجود داشته باشد.
...
یافتن اکسترمم های موضعی
اکنون که بخش قبلی را فرا گرفته اید و تجربه کرده اید، و می دانید که اکسترمم های موضعی (local extrema) چه هستند، نیاز دارید تا عملیات ریاضی برای یافتن آنها را بدانید. شما در بخش پیشین دیدید که تمامی اکسترمم های موضعی در نقاط بحرانی (critical points) یک تابع رخ می دهند ـــ در نقطۀ بحرانی مشتق تابع برابر با صفر یا تعریف نشده می باشد ـــ اما فراموش نکنید که نقاط بحرانی همیشه اکسترمم موضعی نمی باشند. بن...
استفاده از مشتق برای درک شکل توابع
اگر فصل های 9 و 10 را خوانده باشید، احتمالاً در یافتن مشتق ها یک حرفه ای هستید. که چیزی خوبی است، زیرا در این فصل شما از مشتق ها برای درک شکل توابع استفاده می کنید ـــ کجا بالا می روند و کجا پایین می آیند، کجا به بیشینه ترین ارتفاع و کجا به کمینه ترین ارتفاع می رسند، چگونه انحناء می یابند، و به همین ترتیب. سپس در فصل 12 از دانشتان در مورد شکل توابع برای حل کردن مسأله های دنیای واقعی استفاده می کنی...
مشتق دوم، سوم، چهارم، و ...
یافتن مشتق دوم، سوم، چهارم، یا بالاتر، به طور باورنکردنی ساده می باشد. مشتق دوم یک تابع صرفاً مشتقِ مشتق اول آن است. مشتق سوم برابر با مشتقِ مشتق دوم می باشد، مشتق چهارم برابر با مشتقِ مشتق سوم آن می باشد، و به همین ترتیب. به عنوان مثال، در اینجا یک تابع و مشتق های اول، دوم، سوم، و مشتق های بعدی آن را داریم. در این مثال، تمامی مشتق ها با قانون توان (power rule) بدست آمده اند:
$$
f(x)=x^4-5x^2+12x-...
مشتق گیری توابع معکوس
یک فرمول به ظاهر مشکل برای مشتق های توابع معکوس (Inverse Functions) وجود دارد، اما قبل از اینکه به آن بپردازیم، به شکل 2-10 بنگرید، که به زیبایی کل این مفهوم را خلاصه می کند.
...
دسته بندی مطالب خوش آموز
