آموزش ریاضی و فیزیک آموزش مثلثات خوش آموز
انتخاب سمت مناسب در اتحاد مثلثاتی
هنگام اثبات اتحادها، شما معمولاً بر روی یک سمت از معادله یا سمت دیگر آن، کار می کنید ـــ و نه هر دو سمت آن به صورت هم زمان. هنگامی که در سایر نواحی ریاضی، همچون ضد مشتق ها (anti-derivatives) در حسابان، کار می کنید، شما نیاز پیدا خواهید کرد تا از یک عبارت مثلثاتی به عبارتی دیگر تبدیل انجام دهید تا بتوانید آن مسأله را حل کنید؛ اینگونه وضعیت ها هیچ سمتی ندارند، بنابراین شما نیاز دارید تا فقط بر روی ی...
لیست اتحادهای مثلثاتی
یک جنبۀ مهم در مورد مثلثات که افرادی که در مدرسه آن را مطالعه کرده اند، به خاطر می آورند، زمانی است که آنها صرف اثبات اتحادهای مثلثاتی کرده اند ـــ اثبات یعنی یک سمت از یک معادله را با سمت دیگر آن تطبیق دهیم. برخی اثبات اتحادها را بهترین کاری که تابحال کرده اند می دانند ـــ آنها از این کار بسیار لذت می برند و بیشتر و بیشتر می خواهند. اگرچه، سایرینی هم هستند که این کار اثبات اتحادها را زیاد هیجان ا...
اتحادهای نصفِ زاویه
اتحادهای مثلثاتی به شکل مجموع (sums)، تفاضل ها (differences)، مضرب ها (multiples)، و تنصیف ها (halves) ظاهر می شوند. با این اتحادها، شما می توانید سینوس یک زاویۀ \(15\) درجه را با استفاده از فرمولی که شامل نصف \(30\) درجه می باشد، بدست آورید. همچنین می توانید تانژانت \(22\frac{1}{2}\) درجه را با استفاده از نصف \(45\) درجه بدست آورید. این اتحادها صرفاً روش های بیشتر و بیشتری برای فراهم کردن یک مقدا...
اتحادهای زاویۀ مضاعف
اتحادهای مربوط به زوایایی که دوبرابرِ یکی از زوایایِ رایج می باشند، در حسابان و شاخه های مختلف ریاضی، فیزیک، و رشته های علمی، به وفور مورد استفاده قرار می گیرند. این اتحادها شما را قادر می سازند تا با یک زاویۀ بزرگتر به لحاظ یک زاویۀ کوچکتر و قابل مدیریت تر برخورد کنید. به عنوان مثال، یک تابع زاویۀ مضاعف (double-angle function) به شکل \(\sin 2 \theta\)، \(\cos 2 \alpha\)، یا \(\tan 2x\) نوشته می ش...
اتحادهای مثلثاتی تفاضل زوایا
با افزودن زوایا به یکدیگر، شما گنجینۀ دانشتان در این زمینه را بسط دادید. شما یک لیست طولانی تر از مقادیر دقیق توابع دارید ـــ نه صرفاً مقادیر سادۀ توابع، بلکه تمامی جمع های ممکن این زوایای رایج تر. به همین ترتیب، شما حتی امکانات بیشتری برای یافتن مقادیر توابع زوایا در هنگامی که آنها را از یکدیگر تفریق می کنید، در اختیار دارید. به عنوان مثال، شما می توانید سینوس \(15\) درجه را با استفاده از \(45\) ...
اتحادهای مثلثاتی مجموع زوایا
بلوک های سازندۀ اصلیِ اتحادها عبارت از اتحادهای معکوس، نسبت، و فیثاغورثی می باشند، که با جزئیات کامل در فصل 11 مورد بحث قرار دادم. در این فصل، شما آن اتحادها را یک گام جلوتر می برید و اتحادهای جدیدی را توسعه می دهید، در می یابید چگونه توابع مثلثاتی را جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم کنید ـــ مخصوصاً مقادیر زیبایِ زوایای \(0\)، \(30\)، \(45\)، \(60\)، و \(90\) درجه. (این زوایا تنها زوایایی نیستند که می تو...
ترکیب اتحادها
با وجود اینکه هر تابع کاملاً فوق العاده می باشد، قادر بودن به اینکه هر کدام از آنها را به لحاظ تمامی پنج تابع مثلثاتی دیگر بیان کنید، غالباً به نفع شما تمام می شود. به عنوان مثال، شما ممکن است یک معادله یا عبارت با تعداد زیادی سینوس داشته باشید، اما تمامی جملات سینوس نباشند. یکسان کردن همۀ آنها ـــ همگی به لحاظ سینوس باشند ـــ می تواند در حل کردن مسأله به شما کمک کند.
با مجهز شدن به اتحادهای معکو...
اتحادهای فیثاغورثی
فیثاغورث خوب و قدیمی همه جا در کار است ـــ قضیۀ او در عجیب ترین مکان ها ظاهر می شود. (مسلماً منظور من این نیست که یک فصل در این کتاب جای عجیبی است.) این بخش شما را به ماورای چیزهای پایه ای می برد، و آنها را با سه اتحاد که اتحادهای فیثاغورثی (Pythagorean identities) نامیده می شود، گسترش می دهد. (برای اطلاعات بیشتر در مورد قضیۀ فیثاغورث، به فصل های 2 و 6 مراجعه کنید.)
اتحادهای فیثاغورثی بلوک های سا...
اتحادهای زاویه مقابل
اتحادهای زاویۀ مقابل (opposite-angle identities) عبارتهای دارای زوایای منفی را به معادل آنها با زاویه مثبت تبدیل می کند. زوایای منفی برای توصیف یک وضعیت عالی هستند، اما هنگامی که صحبت از الصاق آنها به یک تابع مثلثاتی و محاسبۀ مقدار آن می رسد، واقعاً سودمند نیستند. بنابراین، به عنوان مثال، شما می توانید سینوس \(-30\) درجه را به شکل سینوس \(30\) درجه بازنویسی کنید و یک علامت منفی قبل از آن تابع قرار...
اتحادهای نسبت (Ratio Identities)
مثلثات دارای دو اتحاد می باشد که اتحادهای نسبت (Ratio Identities) نامیده می شوند. این نامگذاری می تواند گیج کننده باشد، زیرا تمامی توابع مثلثاتی با نسبت ها تعریف می شوند. با این حال، در مقطعی، ریاضیدانان فکر کرده اند که این توصیف برای این دو اتحاد عالی می باشد، زیرا آنها اساساً کسرهایی ایجاد شده از دو تابع مثلثاتی می باشند، که در هر کدام، یکی در بالای دیگری قرار دارد. اتحادهای نسبت روشی را ایجاد م...
دسته بندی مطالب خوش آموز
